CÀLCULO VECTORIAL 2014-R: SEMANA 2

APLICACIONES GEOMETRICAS

TRIEDRO MOVIL

PLANO OSCULADOR

La palabra “osculador” viene del latín: ósculo – oris. Sustantivo neutro, que significa: beso. Así en matemáticas, se suele denominar “plano osculador” al plano que hace tangencia enun punto a una superficie curva. Por ejemplo, si dejamos un cuerpo esférico o cualquier otro cuerpo que tenga una superficie curva sobre una mesa, el plano de ésta sería el “plano osculador” de lasuperficie de la esfera, porque el contacto entre ambos se realiza teóricamente en un punto.

Los vectores T̅, N̅ y B̅ constituyen un sistema coordenado ortogonal local en cada punto de la curva C. Alplano que contiene los vectores T̅ y N̅ se le denomina plano osculador y siempre es perpendicular al plano normal a la curva C en cada uno de sus puntos (ya que el plano normal es perpendicular a T̅).En cada punto de una curva, el plano osculador es el plano que contiene al su vector tangente y al vector normal a la curva. Para una partícula desplazándose en el espacio tridimensional, el planoosculador coincide con el plano que en cada instante contiene a la aceleración y la velocidad. La ecuación de este plano viene dada por:

Dónde:

Es el punto de la trayectoria, es el vectorvelocidad en el punto considerado, son las coordenadas de un punto genérico del plano osculador.

PLANO RECTIFICADOR

La torsión τ puede ser positiva o negativa y, conforme se recorre la curva ensentido positivo, el vector B gira alrededor de T̅ en la misma forma que un tornillo de rosca derecha (τ > 0) o de rosca izquierda (τ < 0). El signo de τ es independiente de la elección del sentidopositivo en la curva. Si τ = 0, B̅ es un vector constante lo que implica que T̅ está contenido siempre en un mismo plano cuya normal es el vector constante B̅. Inversamente, para una curva plana, T̅ solopuede variar sobre un plano fijo y por lo tanto T̅ y su derivada siempre están en un plano cuyo vector normal unitario B̅ es constante, por lo tanto dB̅/ds = 0 en todos los puntos

Vector Normal Principal.

En segundo lugar debemos calcular el vector Normal Principal del triedro, para hallar su expresión usaremos esta fórmula:

$N = T ' ( t ) | T ' ( t ) |$

*Donde T’ (t) es la derivada del vector Tangente y | T’ (t) | es el módulo de la derivada.

ECUACIONES DE LA RECTA TANGENTE, NORMAL Y BINORMAL

https://www.youtube.com/watch?v=eqjJpg6RyRw

CLASES DE CURVATURAS

Curvatura de Flexion o simplemente curvatura

Se entiende por curvatura de flexion a la razon instantanea de cambio de direccion de los puntos de la curva C con respento a la longitud del arco.

El radio de curvatura de flexion es inverso de la curvatura de flexion

Curvatura de Torsion

La torsion nos indica el alejamiento o acercamiento de la cueva al plano osculador y se define

La curvatura de torsión de una curva en un punto es la razón de cambio del vector binormal respecto

del vector tg.

Cuando una curva posee curvatura de torsión (además de la de flexión ) no nula es alabeada. En una

curva plana la torsión es nula ya que el vector binormal es continuamente perpendicular al plano que

contiene a la curva (plano osculador único para todos los puntos de la curva).Y en una curva

alabeada, al ir cambiando el plano osculador (que contiene al círculo osculador), va cambiando,

punto a punto, también la recta binormal.

FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Una función escalar, también llamada función real de varias variables ( o de variable multiple) es una aplicación que representamos por

f:A⊆Rn⟶R(x1,x2,...,xn)⟶z=f(x1,x2,...,xn)
donde el conjunto se llama dominio de ser representa por A=Dom(f)=Domf.

El dominio de f, es el conjunto de los elementos de que tienen imagen mediante f, es decir: A=Domf={(x1,x2,...,xn)∈Rn/∃f(x1,x2,...,xn)}

Llamamos imagen de la función f al conjunto de los números reales que tienen correspondencia con algún elemento del dominio, se representa porIm(f).

Im(f)={z∈R/∃(x1,x2,...,xn)∈A⊆Rnverificandoz=f(x1,x2,...,xn)}

Descriptores:

Funciones de varias variables

Funciones

Ejemplo:

Es una función escalar de dos variables. Determinar su dominio y su imagen.

Dominio de la función.

∃f(x,y)⇔x2y≥0⇔y≥0⇒Dom(f)={(x,y)∈R2/y≥0}

Imagen de la función.

x2y≥0⇒+x2y−−−√≥0⇒Im(f)=[0,+∞[⊂R

GRAFICAS Y CURVAS DE NIVEL

Si consideramos una funcion z = f (x,y) su grafica sera el conjunto de ternas ( x,y,z ) que representadas en R3 generara una superficie que satisfaga la ecuacion dentro del dominio de su existencia.

De la misma forma que una función de una variable tiene una representación gráfica mediante una curva en el plano, cuando la función tiene dos variables podría representarse mediante una superficie en el espacio tridimensional. Dicha superficie estaría formada por los puntos de la forma (X, Y, f (X,Y)). No obstante, existe una forma de representar gráficamente funciones de dos variables en el plano: mediante las conocidas como curvas de nivel de la función. Dichas curvas se obtienen al cortar la superficie mediante planos horizontales a distintas alturas, de forma que todos esos cortes forman una familia de curvas que se proyectan sobre el plano OXY. Las curvas de nivel surgen por ejemplo en cartografía cuando se representan las distintas altitudes de una montaña mediante un conjunto de curvas; de esta forma se hace una representación en el plano de la superficie tridimensional de la montaña. En meteorología, las isobaras no son más que las curvas de nivel de la función que determina la presión atmosférica; es decir, son las curvas formadas por los puntos de igual presión atmosférica.

La siguiente figura muestra la representación gráfica de la función sen(X Y) mediante su superficie en el espacio y sus curvas de nivel en el plano.

DEFINICION: Las curvas de nivel de la función f (X,Y) son la familia de curvas de la forma: f (X,Y) = k para cada valor de k en R. Ejemplo:

Este ejemplo muestra la construcción de la familia de curvas de nivel de la función f (X,Y) = 3 X – Y.

Las curvas de nivel tienen la forma 3 X – Y = k o si se prefiere Y = 3 X – K, por tanto, son una familia de rectas paralelas como muestra la figura.

En el caso de funciones lineales, las curvas de nivel son siempre una familia de rectas paralelas.

https://www.youtube.com/watch?v=0S541tIbX1s

https://www.youtube.com/watch?v=HPhO2uvnqfc

LIMITES DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

La definición de límite de funciones de dos variables es la misma que para funciones de una variable. La única diferencia está en la dimensión, pues en funciones de una variable, el número es el límite de una función cuando tiende a si cada vez que este muy cerca de , se tiene que está muy cerca de ; esto significa, intuitivamente que cada vez que nos acercamos al un número en la recta real por todas las direcciones posibles (que no son mas que dos), los valores correspondientes también se acercan al número ; mientras que para funciones de dos variables el número es el límite de una función cuando tiende al punto si cada vez que esté muy cerca , también se tiene que está muy cerca de , esto significa, intuitivamente, que cada vez que nos acercamos al punto en el plano a través de cualquier dirección (que en este caso son infinitas) , se debe tener que se acerca a .

Es claro que para acercarnos a un punto en la recta, lo podemos hacer o por la derecha o por la izquierda, mientras que para acercarnos a un punto en el plano, lo podemos hacer a través de cualquier recta que lo contenga, a través de cualquier curva que lo contenga, incluso si esta tiene forma de espiral. Por lo tanto, el evaluar límites de funciones de dos (o más) variables es un trabajo que se debe realizar en dos pasos: primero encontrar el posible valor límite, si es que existe y segundo demostrar que en realidad este valor es el límite de la función. Esto lo podemos hacer usando la siguiente definición.

https://www.youtube.com/watch?v=JDg5_EY_D6w

CONTINUIDAD

[[Continuidad]]

Recuerde que la evaluación de límites de funciones continuas de una sola variable es fácil. Se efectúa por sustitución directa porque la propiedad de definición de una función continua es lim x->a f(x) = f(a). Las funciones continuas de dos variables también están definidas por la propiedad de sustitución directa.

Definición:

Una función f de dos variables se denomina continua en (a, b) si

Lim f(x,y) = f (a, b)

(x,y) -> (a,b)

Decimos que f es continua en D si f es continua en todo punto (a, b) de D

El significado intuitivo de continuidad es que si el punto (x,y) cambia en una pequeña cantidad, entonces el valor de f(x,y) cambia en una pequeña cantidad. Esto significa que si una superficie es la grafica de una función continua entonces no tiene ni huecos ni rupturas.

Con el uso de las propiedades de los limites, es posible ver que las sumas, diferencias, productos y cocientes de funciones continuas son continuas en sus dominios.

Una función polinomial de dos variables (o, para abreviar, un polinomio), es una suma de términos de la forma cx “y”, donde c es una constante y m y n son enteros no negativos. Una función racional es la razón de dos polinomios. Por ejemplo,

  $f (x) = 3 x 5 - x 2 + 7 x - 1$  es una función polinomial de grado 5.

Los limites muestran que las funciones f(x,y)=x, g(x,y)= y, y h(x,y) = c son continuas. Como cualquier polinomio puede ser obtenido a parten de las funciones simples f, g y h por multiplicación y suma, llegamos a que todos los polinomios son continuas en R. Del mismo modo, cualquier función racional es continua en su dominio porque es cociente de funciones continuas.

https://www.youtube.com/watch?v=24i5gFGiin4

DERIVADAS PARCIALES

Sabemos que la derivada de una funcion en un punto nos da la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Esto significa que sabemos la rapidez de crecimiento/decrecimiento de la función en ese punto.

Ahora supongamos que tenemos una función f que depende de más de una variable, por ejemplo f(x,y)=−x2+2xy−y.

Al ser una función de dos variables la gráfica es una superficie, y entonces hay infinitas direcciones entre las que estudiar el crecimiento.

Pues bien, las derivadas parciales nos indicarán también la pendiente de una recta concreta tangente a la superficie. Antes, pero, vamos a aprender a calcular derivadas parciales, ya que es un metodologia a la que luego le daremos sentido.

Para calcular una derivada parcial de una función en diversas variables tenemos que derivar como siempre respecto una de las variables y mantener las demás como constantes, (como valores fijos).

En nuestro ejemplo f(x,y)=−x2+2xy−y, si queremos hacer la derivada parcial respecto x, consideramos la variable y como una constante, "un número", y entonces nos queda como derivar una función de una variable, f(x).

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES

https://www.youtube.com/watch?v=F_Nj9vk9bUs

Recordemos que la gráfica de $\,z = f(x, y)\,$ representa una superficie $\,S\,$ . Si $\,f(a, b) = c\,$ , entonces el punto $\,P = (a, b, c)\,$ está sobre la superficie $\,S\,$ . El plano vertical $\,y = b\,$ interseca a la superficie $\,S\,$ en la curva $\,C_1\,$ (es decir, $\,C_1\,$ es la traza de la superficie $\,S\,$ sobre el plano $\,y = b\,$ . De manera semejante, el plano vertical $\,x = a\,$ interseca a la superficie $\,S\,$ en la curva $\,C_2\,$ . Ambas curvas pasan por el punto $\,P\,$ .

Observe que la curva $\,C_1\,$ es la gráfica de la función $\,g(x, b)\,$ de manera que la pendiente de su recta tangente $\,T_1\,$ en el punto $\,P\,$ es $\,g'(a) = f_x(a, b).\,$ La curva $\,C_2\,$ es la gráfica de la función $\,g(y) = f(a, y),\,$ así que la pendiente de su tangente $\,T_2\,$ en el punto $\,P\,$ es $\,g'(b) = f_y(a, b).\,$

En las ligas puede arrastrar el punto P sobre la curva C

Por consiguiente, las derivadas parciales $\,f_y(a, b)\,$ y $\,f_y(a, b)\,$ pueden interpretarse geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas $\,C_1\,$ y $\,C_2\,$ en el punto $\,P\,$ , respectivamente.

Las derivadas parciales pueden también ser vistas como razones de cambio. Si $\,z = f(x, y)\,$ , entonces $\,f_x\,$ representa la razón de cambio de $\,z\,$ con respecto a $\,x\,$ , cuando $\,y\,$ permanece fija. De manera semejante, $\,f_y\,$ representa la razón de cambio de $\,z\,$ con respecto a $\,y\,$ , cuando $\,x\,$ permanece fija.

PLANO TANGENTE A LAS SUPERFICIES

Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.

Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente.

Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación F(x,y,z)=0, entonces la ecuación del plano tangente en un punto

de la superficie viene definido por la ecuación: