CÀLCULO VECTORIAL 2014-R: SEMANA 3

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada:

de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los ordenes pese a que se puedan calcular con las formulas. Es necesario considerar los teoremas expuestos en la sección de los teoremas

https://www.youtube.com/watch?v=GQvusIGtzpI

ECUACION BIDIMENSIONAL DEL CALOR

La ecuación bidimensional del calor describe cómo se distribuye la temperatura en un cuerpo sólido en función del tiempo y el espacio. El interés en su estudio radica en las múltiples aplicaciones que tiene en diversas ramas de la ciencia. En las matemáticas generales, representa la típica ecuación en derivadas parciales parabólica y concretamente en la estadística está relacionada con los procesos aleatorios. Por otro lado, en el campo de la química nos predice, entre otros procesos de transferencia de calor, que si juntamos un material a 0º y otro a 100º, rápidamente la temperatura del punto de conexión entre ambos será de 50º.

DE DONDE SE LA OBTIENE:

Esta ecuación se la obtiene de la forma general de una ecuación de derivadas parciales lineal y de segundo orden (EDP) con 2 variables independientes X e Y.

Si “U” representa la variable dependiente Y; y “X” e “Y” representan las variables independientes, entonces tenemos que:

donde A,B,C,...,G son funciones de x e y.

Cuando G(x,y) = 0, se dice que la ecuación es homogénea; en caso contrario se dice que es no homogénea.

DIFERENCIA TOTAL Y PARCIALES

En matematica una derivada parcial de una funcionde diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en calculo vectorial.

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

$\frac{ \partial f }{ \partial x } = \partial_xf = f'_{x}$

Donde

\scriptstyle \partial

es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.
Cuando una magnitud

A

es función de diversas variables (

x

y

z

...

), es decir:

$A = f\left(x,y,z,...\right)$

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función

A

en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como el limite . Donde U es un subconjunto abierto de Rⁿ y f : U → R una función. Definimos derivada parcial de f en el punto a = (a₁,..., a_n) ∈ U con respecto a la i-ésima variable x_i como:

$\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) = \lim_{h \rightarrow 0}{ f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - f(a_1, \dots ,a_n) \over h }$

O visto respecto a la derivada direccional:

$\frac{ \part}{\part x_i} f(\vec{x}_0) = D_{\vec{v}}f \left( \vec{x}_0 \right) = \underset{t\rightarrow 0}{\lim }\frac{f\left(\overrightarrow{x_0}+t\vec{v}\right)-f\left( \vec{x}_0 \right)}{t}$

donde

\vec{v}

es el vector unitario del eje respecto al que se deriva (

{x_i}

).
Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de a y son continuas, entonces la función no sólo es continua sino además diferenciable cerca de a. En este caso, f es una función C¹.

DIFERENCIANDO

TEOREMA DE APROXIMACION LINEAL

En matematica, una aproximación lineal es una aproximación de una funcion cualquiera usando una trasformacion lineal. Por ejemplo, dada una función diferenciable f de una variable real, se puede expresar (generalizada en el Teorema de Taylor) de la siguiente manera:

f(x) = f(a) + f\ '(a)(x - a) + o(x)

donde

o(x)

es una función que representa el error usando la notacion de landau (Así,

o(x)/x

tiende a 0 cuando

x

tiende a

a

). La aproximación se obtiene al despreciar la suma de esta función error.

f(x) \approx f(a) + f\ '(a)(x - a)

Lo cual es cierto para los valores de x cercanos a a. La expresión derecha es la de la recta tangente a la gráfica de f en a. Por esta razón también se llama aproximación de la recta tangente

Para encontrar la aproximación lineal de

\sqrt[3]{25}

se hace lo siguiente:

Considérese la función $f(x)= x^{1/3}.\,$
Se tiene la derivada :
$f\ '(x)= 1/3*x^{-2/3}.$
Según lo ya visto,
$f(25) \approx f(27) + f\ '(27)(25 - 27) = 3 - 2/27.$
El resultado, 2.926, está razonablemente cerca del valor que puede dar una calculadora 2.924…

https://www.youtube.com/watch?v=a5WFxx-nRRQ

REGLA DE LA CADENA

Recuerde que con la notacion de Leibniz de la cadena para una funcion de una variable se expresa como sigue: Si y es una funcion de u y dy/du existe y su u es una funcion de x y du/dx existe, entonces es una funcion de x y dy/dx existe y esta demostrada por:

dy/dx = dy/du du/dy

https://www.youtube.com/watch?v=YekjPMP-Mrg

DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLICITAS

Funciones implícitas

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

x'=1.

En general y'≠1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

Derivar las funciones:
1. Derivación implicita

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:

Ejemplo

https://www.youtube.com/watch?v=0Cmtdy5nkJg
https://www.youtube.com/watch?v=oneC1gsSQaM

DETERMINANTE JACOBIANO

En calculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl Gustav Jacobi.

En geometria algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde la curva puede ser embebida

Matriz Jacobiana

La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.

Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana, de diferencial jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá componentes diferentes aún tratándose del mismo objeto matemático. La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente,

dada una aplicación cualquiera continua, es decir se dirá que

es diferenciable si existe una aplicación lineal tal que:

Función escalar

Empecemos con el caso más sencillo de una función escalar . En este caso la matriz jacobiana será una matriz formada por un vector fila que coincide con el gradienete. Si la función admite derivadas parciales para cada variable puede verse que basta definir la "matriz" jacobiana como:

Ya que entonces se cumplirá la relación (1) automáticamente, por lo que en este caso la "matriz jacobiana" es precisamente el gradiente.

Función vectorial

Supongamos es una función que va del espacio euclídeo n-dimensional a otro espacio euclídeo m-dimensional. Esta función está determinada por m funciones escalares reales:

Cuando la función anterior es diferenciable, entonces las derivadas parciales de estas m funciones pueden ser organizadas en una matriz m por n, la matriz jacobiana de F:

Esta matriz es notada de diversas maneras:

Nótese que la fila, i-ésima fila coincidirá dada con el gradiente de la función y_i, para i = 1,...,m
Si p es un punto de Rⁿ y F es diferenciable en p, entonces su derivada está dada por J_F(p). En estecaso, la aplicación lineal descrita por J_F(p) es la mejor aproximación lineal de F cerca del punto p, de esta manera:

para x cerca de p. O con mayor precisión:

Determinante jacobiano

Si m = n, entonces F es una función que va de un espacio n-dimensional a otro. En este caso la matriz jacobiana es cuadrada y podemos calcular su determinante, conocido como el determinante jacobiano o simplemente jacobiano.

El determinante jacobiano en un punto dado nos da información importante sobre el comportamiento de F cerca de ese punto. Para empezar, una función F es invertible cerca de p si el determinante jacobiano en p es no nulo. Más aún, el valor absoluto del determinante en p nos da el factor con el cual F expande o contrae su volumen cerca de p.

Ejemplos

Ejemplo 1. El determinante jacobiano de la función F : R³ → R³ definida como:

es:

El teorema de la función inversa garantiza que la función es localmente invertible en todo el dominio excepto quizá donde ó (es decir, los valores para los que el determinante se hace cero). Si imaginamos un objeto pequeño centrado en el punto (1,1,1) y le aplicamos F, tendremos un objeto aproximadamente 40 veces más voluminoso que el original.

DERIVADA DIRECCIONAL

En la derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes.

Definición general

La derivada direccional de una funcion escalar:

f(\bold{x})=f(x_1, x_2, \ldots, x_n)

en la dirección del vector:

\vec{v} = (v_1,v_2, \ldots, v_n)

es la funcion definida por el limite :

$D_{\vec{v}}{f} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\vec{x} + h\vec{v}) - f(\vec{x})}{h}}.$

Si la función es diferenciable, puede ser escrita en término de su gradiente

\nabla f

$D_{\vec{v}}{f} = \nabla f \cdot \vec{v}$

donde "

\cdot

" denota el producto escalar o producto punto entre vectores. En cualquier punto

\bold{x}

, la derivada direccional de f representa intuitivamente la tasa de cambio de f con respecto al tiempo cuando se está moviendo a una velocidad y dirección dada por

\vec{v}

en dicho punto.

Definición solo en la dirección de un vector

Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al vector

\vec{v}

después de la normalización, ignorando así su magnitud. En este caso:

D_{\vec{v}}{f} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\bold{x} + h\bold{v}) - f(\bold{x})}{h|\bold{v}|}},

Si la función es diferenciable, entonces

D_{\vec{v}}{f} = \nabla f(\bold{x}) \cdot \frac{\bold{v}}{|\bold{v}|}

Esta definición tiene algunas desventajas: su aplicabilidad está limitada a un vector de norma definida y no nula. Además es incompatible con la notación empleada en otras ramas de la matemática, física e ingeniería por lo que debe utilizarse cuando lo que se quiere es la tasa de incremento de

f

por unidad de distancia.

Restricción al vector unitario

Algunos autores restringen la definición de la derivada direccional con respecto a un vector unitario. Con esta restricción, las dos definiciones anteriores se convierten en una misma.

https://www.youtube.com/watch?v=9HcJqB-bdE8

MAXIMOS Y MINIMOS

La determinación de los valores máximos y mínimos de una función, es uno de los logros de la gran potencia que tiene el Cálculo. Tomemos f(x) como una función de x. El valor de x para el cual la derivada de f(x) con respecto a x es igual a cero, corresponden a los puntos de inflexión de la función f(x) donde sus valores son máximo y mínimo.
Por ejemplo, la altura de un proyectil que se dispara en línea recta, está dada por las ecuaciones del movimiento:
Abajo se muestra la gráfica de la altura y(t), tomando y₀ = 0.

La derivada de una función puede ser interpretada geométricamente como la pendiente de curva de la función matemática y(t), representada la derivada en función de t. La derivada es positiva cuando una función es creciente hacia un máximo, cero (horizontal) en el máximo, y negativa justo después del máximo. La segunda derivada es la tasa de cambio de la primera derivada y es negativa en el proceso que se acaba de describir, puesto que la primera derivada (la pendiente), siempre es cada vez mas pequeña. La segunda derivada es siempre negativa en la "joroba" de una función, que corresponde a un máximo de la función.

En la función simple que se ha mostrado en el ejemplo solo hay un máximo. Las funciones mas complejas pueden tener múltiples máximos y mínimos y la segunda derivada, nos proporciona la manera de distinguirlos.

https://www.youtube.com/watch?v=eh-NDkH-hXk

Maximos y Minimos absolutos

https://www.youtube.com/watch?v=2zW0qqaDtOE

INTEGRALES MULTIPLES

na integral múltiple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo,

f(x,y)

f(x,y,z)

De la misma manera en que la integral de una función positiva

f(x)

de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva

f(x,y)

de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función

f(x,y,z)

definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hhipervolumen , sin embargo es bueno notar que si

f(x,y,z)=1

el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.
La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integracion en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El dominio de integración se representa sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

$\iint \ldots \int_\mathbf{D}\;f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \;\mathbf{d}x_1 \mathbf{d}x_2\!\ldots\mathbf{d}x_n$

Es importante destacar que no es posible calcular la funcion prmitiva o antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.

Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple. Si la expresión

\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx

se refiere a una integral iterada, la parte externa

\int_a^b \cdots \, dx

es la integral con respecto a x de la función de x:

g(x)=\int_c^d f(x,y)\,dy.

Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es dydx ó dxdy, y por lo general uno la calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene:

\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx \neq \int_c^d\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy.

De una manera más formal, el Teorema de Fubini afirma que

\int_{A\times B} |f(x,y)|\,d(x,y)<\infty,

Esto es, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral doble es igual a la integral iterada.

\int_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y)=\int_A\left(\int_B f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_B\left(\int_A f(x,y)\,dx\right)\,dy.

Esto ocurre, cuando

f

es una funcion acotada y tanto A como B son regiones acotadas también. Esto se entiende fácilmente pensando que si la función o la región del dominio no están acotadas, la integral múltiple no puede existir.
La notación

\int_{[a,b]\times[c,d]} f(x,y)\,dx\,dy

se puede usar si se desea ser enfático al referirse a una integral doble y no a una iterada.

Métodos de integración

Funciones constantes

En el caso de funciones constantes, el resultado es trivial: simplemente multiplíquese el valor de la función constante c por la medida del dominio de integración. Si c = 1, y es integrada a través de una región de R² esto da el área de la región, mientras que si es una región de R³ da el volumen de la región y así sucesivamente.
Por ejemplo:

D = \{ (x,y)| \ 2 \le x \le 4 \ ; \ 3 \le y \le 6 \}

f(x,y) = c\,\!

Integrando f sobre D:

\int_3^6 \int_2^4 \ c \ dx\, dy = c \cdot \mbox{area}(D) = c \cdot (3 \cdot 2) = c \cdot 6.

Uso de simetrías

En el caso de un dominio en el que exista simetría al menos respecto de uno de los ejes, y donde la función para integrar contenga al menos una funcion impar con respecto a esa variable, la integral se vuelve nula (ya que la suma de cantidades iguales con signo opuesto es cero). Por ejemplo

Dada

f(x,y) = 2 \ \sin(x) - 3 \ y^3 + 5

y que

T = x^2 + y^2 \le 1

es el dominio de integración del disco de radio 1 centrado en el origen.

Usando la propiedad lineal de las integrales, la integral se descompone en tres partes:

\iint_T (2 \ \sin(x) - 3 \ y^3 + 5) \ dx \, dy = \iint_T 2 \ \sin(x) \ dx \, dy - \iint_T 3 \ y^3 \ dx \ dy + \iint_T 5 \ dx \ dy

Ya que tanto 2 sin(x) como 3y³ son funciones impares, y existe simetría tanto con respecto al eje x como con respecto al eje y, las primeras dos integrales se nulifican, de tal forma que la integral original es igual únicamente a la tercera.

\iint_T (2 \ \sin(x) - 3 \ y^3 + 5) \ dx \, dy = \iint_T 5 \ dx \, dy = 5 \pi

Cambio de variables

A menudo, es útil para reducir la complejidad de la integral cambiar una variable por otra que resulte más cómoda, sin embargo esto exige el cambio de la región de integración, además de añadir un factor de corrección al diferencial conocido como determinante (en valor absoluto o módulo). El cambio de una variable por otra es en un sentido geométrico, una transformación desde un espacio hasta otro, y es esta transformación la que exige estos ajustes.
Si se utiliza una transformación que siga la relación:

f(y_1,\ldots,y_n) \rightarrow f(y_1(x_1,x_2,\ldots,x_n),\ldots,y_n(x_1,x_2,\ldots,x_n))

Entonces se puede utilizar el jacobiano de la transformación para simplificar la integral

J=\frac{D(y_1,\ldots,y_n)}{D(x_1,\ldots,x_n)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_n}{\partial x_n} \end{vmatrix}

Integrando la función transformada en el dominio de integración correspondiente a las variables x, y multiplicando por el valor absoluto del determinante jacobiano y por la serie de diferenciales, se obtiene una integral múltiple que es igual a la integral original, si es que esta existe.

\iint \ldots \int_{D} \,f(y_1,\ldots,y_n) dy_1 \ldots \,dy_n = \iint \ldots \int_{T} \,f(x_1,\ldots,x_n) |J| dx_1 \ldots \,dx_n

A continuación se dan algunos ejemplos de estas transformaciones.

Coordenadas Polares

La transformación de coordenadas rectangulares a polares. Se puede notar que el área de la región polar es distinta que la de la región rectangular, lo que justifica la necesidad del jacobiano. También se puede demostrar que si se consiera

\rho = (\rho_1 + \rho_2)/2

(el radio medio), el área de la región polar es efectivamente

\rho \Delta \rho \Delta \theta

En un espacio R², un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces suceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:

f(x,y) \rightarrow f(\rho \ \cos \theta,\rho \ \sin \theta )

Por ejemplo:

Si la función es

f(x,y) = x + y\,\!

aplicando la transformación se obtiene la función fácilmente integrable con respecto a

\phi

y a

\rho

f(\rho, \phi) = \rho \cos \phi + \rho \sin \phi = \rho \ (\cos \phi + \sin \phi ).

Se pueden obtener funciones incluso más simples:

Si la función es

f(x,y) = x^2 + y^2\,\!

Uno tiene:

f(\rho, \theta) = \rho^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \rho^2\,\!

Si aplica la identidad trigonometrica pitagórica de senos y cosenos.
El determinante jacobiano de la transformación es:

\frac{\partial (x,y)}{\partial (\rho, \theta)} = \begin{vmatrix} \cos \theta & - \rho \sin \theta \\ \sin \theta & \rho \cos \theta \end{vmatrix} = \rho

El cual se obtiene insertando las derivadas parciales de x = ρ cos(θ), y = ρ sin(θ) en la primera columna con respecto a ρ y en la segunda con respecto a

\theta

.
Por lo tanto, una vez transformada la función, y multiplicada por su determinante jacobiano, ésta es igual a la integral original:

\iint_D f(x,y) \ dx\, dy = \iint_T f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho \, d \rho\, d \theta.

Coordenadas Esféricas

Gráfica de las coordenadas esféricas.

Cuando existe simetría esférica en un dominio en R³, es posible utilizar una transformación hacia coordenadas esféricas para simplificar una integral triple. La función es transformada por la relación:

f(x,y,z) \longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \phi)\,\!

El determinante jacobiano de la transformación es el siguiente:

\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho, \theta, \phi)} = \begin{vmatrix} \cos \theta \sin \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \phi\\ - \rho \sin \theta \sin \phi& \rho \cos \theta \sin \phi & 0 \\ \rho \cos \theta \cos \phi & \rho \sin \theta \cos \phi & - \rho \sin \phi \end{vmatrix} = - \rho^2 \sin \phi

Tomando el valor absoluto del determinante se obtiene el factor que se debe añadir a la integral.
Por lo tanto los diferenciales dx dy dz se transforman en ρ² sin(φ) dρ dθ dφ.
Finalmente se obtiene la fórmula de integración:

\iiint_D f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T f(\rho \cos \theta \sin \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \phi) \rho^2 \sin \phi \, d\rho\, d\theta\, d\phi.

Coordenadas Cilíndricas

Gráfica de las Coordenadas Cilíndricas (Se muestra el ángulo θ como φ).

El uso de coordenadas cilindricas para transformar una integral triple, es conveniente especialmente cuando el dominio de integración presenta simetría alrededor del eje z. La función se transforma mediante la siguiente relación.

f(x,y,z) \rightarrow f(\rho \ \cos \theta,\rho \ \sin \theta, z)

El determinante jacobiano de la transformación es el siguiente:

\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho, \theta,z)} = \begin{vmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ - \rho \sin \theta & \rho \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \rho

Por lo tanto, se puede derivar la siguiente fórmula de integración:

\iiint_D f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta, z) \rho \, d\rho\, d\theta\, dz.

INTEGRACION SOBRE REGIONES MAS GENERALES

https://www.youtube.com/watch?v=s-bw-mSdgRQ

TRANSFORMACION DE INTEGRALES MULTIPLES

En el cálculo de una dimensión, es frecuente que usemos un cambio de variables (o una sustitución) para simplificar una integral. Al cambiar los papeles de x y u, podemos escribir la regla de la sustitución como:
Otra forma de escribir la ecuación anterior es como sigue:

Un cambio de variables también puede ser útil en integrales dobles. Ya hemos visto esto en las transformación a coordenadas polares. Las nuevas variables r y o están relacionadas con las viejas variables x y y por las ecuaciones.
El cambo de variables entonces para una integral doble en coordenadas polares quedaría de la siguiente forma

donde "S" es la región el el plano polar que representa a la superficie "R" en el plano cartesiano.
De una forma más general podemos decir que un cambio de variables es realizado debido a una transformación T del plano (u,v) al plano (x,y)

T(u,v)=(x,y) donde x y y están relacionadas con u y v mediante las ecuaciones

x=g(u,v) y=h(u,v)

Una transformación T no es más que una función cuyo dominio es un subconjunto de R2. Si entonces el punto X1, X2 es la imagen de el punto U1, U2. Si dos puntos no poseen la misma imagen entonces T es llamada una función uno a uno. La siguiente imagen ilustra una transformación de la región S en el plano uv. T transforma la región S en la región R en el plano xy llamada la imagen de S, que consiste de las imágenes de todos los puntos en S.

Si T es una transformada uno a uno, entonces tiene transformada inversa Texp-1 del plano xy al plano uv, pudiendo despejar de las ecuaciones anteriores para u y v

u=G(x,y) v=H(x,y)

Ejemplo #01

Si x=U^2+V^2 y Y= UV encuentre la imagen de el cuadrado

La transformación dibuja una imagen de la superficie S utilizando sus límites.El primer lado ,S₁, es cuando v=0. Utilizando las ecuaciones obtenemos que x=u², y=0, obteniendo que 0≤x≤1. Con estro trazamos en el plano xy a S₁ como el segmento de recta que va de (0,0) a (0,1).
El segundo lado, S₂, es cuando hacemos u=1, sustituyendo en las ecuaciones obtenemos:

x=1-v² y=2v

Si despejamos para obtener una curva conocida en el plano xy obtenemos que es la parábola X=1-Y^2/4 que va de (0,1) a (0,2).
Continuando con S₃ (v=1) obtenemos que la representación en el playo xy corresponde a la parábola que va de (0,2) a (-1,0).
Por último al desarrollar la transformación para S₄ encontramos que es el segmento de recta que va desde (-1,0) hacia (0,0).
Al identificar la superficie S nos movemos en sentido antihorario, por lo tanto al graficar en el plano xy nos moveremos en el mismo sentido, obteniendo una gráfica delimitada por dos parábolas y el eje x.

Cambios de variable en integrales dobles

Ahora veremos como se ve afectada un integral doble con un cambio de variable. Empezaremos con un pequeño rectángulo S en el plano uv cuya esquina inferior izquierda es el punto (u₀,v₀) y que tiene dimensiones Δu y Δv.

La imagen de nuestra región S es la región R en el plano xy, que tiene en uno de sus vértices con coordenadas (x₀,y₀)=T(u₀,v₀).

El vector

es el vector posición de la imagen del punto (u,v). La ecuación correspondiente al lado inferior de la superficie S es v=v₀, cuya imagen esta dada por la función vectorial r (u,v₀). El vector tangente a (x₀,y₀) en la imagen de nuestra región viene dado por

Podemos aproximar la imagen de la región R=T(s) por medio del paralelogramo formado por los vectores secante, como se puede apreciar el la figura anterior.

Sabemos lo siguientepor lo que podemos concluir que de igual manera podemos decir que Esto significa que podemos aproximar R a través del paralelogramo formado por los vectores y . Por lo tanto podemos aproximar el área de la región R como el área de este nuevo paralelogramo.

https://www.youtube.com/watch?v=pkDI9iKHbjs

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MULTIPLES

Ya hemos visto una aplicación de las integrales dobles: calcular volúmenes. Otra aplicación geométrica es hallar áreas de superficies y lo haremos en la siguiente sección. En esta sección, exploramos aplicaciones físicas como por ejemplo calcular masa, carga eléctrica, centros de masa y momento de inercia. Veremos que estas ideas físicas también son importantes cuando se aplican a funciones de densidad de probabilidad de dos variables aleatorias.

Conociendo las integrales dobles, podemos considerar una lámina con densidad variable. Supongamos que la lámina ocupa una región D del plano xy y su densidad (en unidades de masa por área unitaria) en un punto (x,y) en D está dada por ρ(x,y), donde ρ es una función continua en D. Esto significa que

Si ahora aumentamos el número de sub-rectángulos, obtenemos la masa total m de la lámina como el límite del valor de las aproximaciones:

Los físicos también consideran otros tipos de densidad que se pueden tratar en la misma manera. Por ejemplo, si una carga eléctrica se distribuye sobre una región D y la densidad de carga (en unidades de carga por área unitaria) está dada por σ(x,y) en un punto (x,y) en D, entonces la carga total Q está dada por

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CÀLCULO VECTORIAL 2014-R

lunes, 14 de julio de 2014

SEMANA 3